Solucionario del cuarto módulo de resolución de problemas matemáticos (página 2)

Búsqueda de estrategias

Ahora si podemos buscar el patrón (o regla de
formación) o característica que cumplen todos los
números que caen debajo de una columna determinada, para
luego deducir debajo de que letra aparecerá el
número 2006.

Notaremos que debajo de la columna A aparecen los
números

1 ; 8; 15; …

Estos números, a partir de 1, van aumentando de 7
en 7, y forman una progresión aritmética de
razón 7 y cuyo primer término es 1. Estos son
números que al dividirse entre 7 dejan residuo
1.

Igualmente, notaremos que debajo de la columna B,
aparecen los números

7; 14; 21…

Y estos números, a partir de 7; van aumentando de
7 en 7 y forman los múltiplos de 7. Estos son
números que divididos entre 7, dejan residuo 0.

Luego, podemos decir que debajo de cada columna
aparecerán los números que divididos entre 7 dejan
un mismo residuo.

En A (los que dejan residuo 1); en B (los
que dejan residuo 0)

En C (los que dejan residuo 2); en D (los
que dejan residuo 6)

En E (los que dejan residuo 3); en F (los
que dejan residuo 5); y

En G (los que dejan residuo 4).

Ejecución

Determinaremos qué residuo deja 2006 al dividirse
entre 7:

Como 2006 al dividirse entre 7 deja residuo 4, entonces
2006 caerá en la columna G.

Respuesta: El 2006
aparecerá escrito debajo de la columna
G.

• 3. Familiarización y
  comprensión:

La condición más importante es
que:

"Los números vecinos, solo pueden diferenciarse
en 1 ó 2 ".

Por ejemplo, los vecinos del 6 podrían ser solo
4; 5; 7 u 8.

En cambio 10 solo puede tener como vecinos al 8 ó
9.

El 1 también puede tener como vecino solo al 2 o
al 3.

Búsqueda de estrategias:

Primero trataremos de encontrar la ubicación de
los números vecinos de 10 (porque hay solo 2) y luego los
del 1.

Ejecución:

Como los únicos vecinos de 10 pueden ser 8
ó 9 y como el 9 no puede ser vecino del 6 (pues le lleva 3
de ventaja), se deduce que el "vecino" del 10 que está
para el lado del número 6 es 8, y el "vecino" del 10 que
está al lado de b es 9.

Ahora los vecinos del 9 podrían ser: 10 ; 8
ó 7.

Entonces como b es vecino de 9 sólo podría
ser 7 (porque el 8 ya está ubicado entre 6 y
10)

b=7

a=5

Como b = 7, y "a" tiene que ser su vecino, a
podría ser 9; 8; 6 ó 5. Pero como 9; 8 y 6 ya
están ubicados, por descarte.

Luego: a + b = 5 + 7 = 12

Respuesta: La suma de los
números tapados por los cuadritos y marcados con las
letras "a" y "b" es: 12.

• 4.  Familiarización y
  comprensión:

Si cada jarrón se compró a 24 soles,
podemos decir que el precio de compra de cada jarrón es 24
soles. Si luego se vende cada jarrón ganando 15 soles,
significa que el precio de venta de un jarrón
es:

24 + 15 = 39.

Cumpliéndose la relación:

Precio de venta = Precio de compra +
Ganancia

Búsqueda de estrategias:

Para los problemas que tengan que ver con precios,
ganancias, etc., hay dos formas diferentes de analizar la
situación.

Una forma es considerar los ingresos y egresos
necesarios para cumplir las condiciones; y otra forma es
considerar solo las ganancias y las pérdidas que
ocurren en cada transacción para luego obtener la ganancia
final.

Ejecución:

Primera forma: Trabajando con ingresos y
egresos:

Como cada jarrón se compró a 24 soles,
entonces

El precio de compra de los 30 jarrones es: 30 × 24
= 720 soles

Como al final, la ganancia debe ser: 374
soles

Entonces el ingreso en todas las dos ventas deben sumar:
720 + 374 = 1 094 soles.

• Ganando 15 soles en cada jarrón significa que
  cada jarrón se vendió a 24 + 15 = 39 y el
  ingreso en esta venta fue: 18 × 39 = 702
  soles.

• Ahora en los 8 jarrones rotos, no se obtienen
  ingreso alguno.

Luego, faltaría recaudar: 1094 – 702 = 392
soles y esto se tendrá que obtener de la venta de los
jarrones que quedan, o sea en la venta de: 30 – 18 –
8 = 4 jarrones.

Luego, cada uno de estos jarrones se debe vender a:

Respuesta: Cada uno de los
jarrones restantes se vendió a 98 soles.

Segunda forma: Trabajando con ganancias y
pérdidas en cada transacción.

La ganancia final, por dato, debe ser: 374
soles.

En la 1ª venta de los 18 jarrones se ganó:
18 × 15 = 270 soles.

En los 8 jarrones rotos se perdió su costo: 8
× 24 = 192 soles.

Luego, en la venta de los 4 jarrones que quedan se debe
ganar, lo que falta ganar: 374 – 78 = 296 soles, o sea en
cada jarrón se debe ganar:

Y por lo tanto cada uno se debe vender a: 24 + 74 = 98
soles.

Precio de costo + ganancia = 24 + 74 = 98
soles.

• 5. En estos problemas, hemos advertido
  anteriormente, que se debe trabajar con lo que puede hacer
  cada elemento en la unidad de tiempo. En este problema la
  unidad de tiempo es 1 hora.

Debemos calcular qué parte del estanque
llenó A en las 4 primeras horas y luego determinar
cuánto demorarán A y B para llenar la parte que
falta. Se puede finalmente usar regla de tres simple.

Como A puede llenar el estanque en 12 horas, se deduce
que

A en 1 hora llena: del estanque.

Análogamente, como B puede llenar el estanque en
20 horas, entonces:

B en 1 hora llena: del estanque.

Así, A llenó en la primeras cuatro
horas:

Luego, faltaría llenar:

En este momento se abre el caño B y a partir de
ahora

Y como ahora trabajaran juntos A y B,

En 1 hora A y B juntos llenan:

Y llamando "x" al tiempo que tardarán A y B
juntos en llenar lo que falta o sea del estanque, obtenemos:

Respuesta: El estanque se
llenará, 5 horas después de abrir el
caño B.

• 6. Familiarización y
  comprensión:

En estos problemas se supone que todas las gallinas
tienen igual rendimiento para poner huevos; y también
tienen igual velocidad para comer el maíz. "Nos dan la
productividad y el consumo en unidades diferentes" y tenemos que
comparar lo que ponen con lo que comen.

Búsqueda de estrategias

Emplearemos, el procedimiento de "reducción a la
unidad", o sea determinaremos el tiempo en que 1 gallina pone 1
docena de huevos y el tiempo en que 1 gallina come 1 kilo de
maíz, para luego comparando, deducir
¿cuántos kilos de maíz necesitan comer 18
gallinas para poner 18 docenas de huevos?

El siguiente ejemplo puede servir para visualizar mejor
la solución que emplearemos. Supongamos que en una clase
hay 30 estudiantes de igual rendimiento y que cada uno puede
resolver un problema en 4 minutos.

Entonces: 1 estudiante resuelve 1 problema en 4
minutos.

Ahora, si a cada uno de los 30 estudiantes de esta clase
le proponemos un problema para que lo resuelva, entonces los 30
estudiantes resolverán los 30 problemas en: 4
minutos.

Es lógico que resultará 4 minutos, porque
cada alumno resolverá solo el problema que le ha tocado y
esto por dato sabemos que lo hace en 4 minutos.

Ejecución del plan

1º dato: Si 20 gallinas ponen 20 docenas de
huevos en 20 días.

¿Qué pasó en los 20
días?

Cada gallina puso una sola docena de huevos.

2º dato: Si 5 gallinas comen 5 kilos de
maíz en 5 días.

¿Qué pasó en los 5
días?

Que cada gallina comió 1 kilo de
maíz.

Luego, Reuniendo estas dos informaciones,
deducimos que para que 1 gallina ponga 1 docena de huevos deben
transcurrir 20 días pero en 5 días esa gallina se
comió 1 kilo de maíz, o sea en los 20 días
se habrá comido:

20 : 5 = 4 kilos de
maíz.

Luego, Para que 1 gallina ponga 1 docena de
huevos se comerá 4 kilos de maíz y como deben ser
18 gallinas que deben poner 18 docenas de huevos, entonces
estás se comerán en total: 18 × 4 = 72 kilos
de maíz.

Respuesta: 72 kilos de
maíz.

• 7. Familiarización y
  comprensión

Si "D" es la cantidad total de dinero que tenía
Ernesto, primero gasta de D; pero luego gasta del resto. Note que esto
último que gastó no es del total, sino del resto que quedó después
de haber gastado el primer de D.

Esto significa que las fracciones no son todas
fracciones de D, sino de los restos que van quedando
después de realizar los gastos.

A este tipo de problemas se les llama de RESTOS
SUCESIVOS.

Búsqueda de estrategias

En este tipo de problema, podemos usar "fracción
de fracción" para determinar la fracción de "D" que
quedó como resto final y este valor igualarlo al dato que
es 360 soles. De allí se despejaría "D".

También como las cantidades gastadas son
fracciones y en ningún momento se suma o resta algo a las
cantidades, se puede usar el método de falsa
suposición y luego por proporcionalidad hallar el valor
verdadero. Este último procedimiento es más
sencillo y fácil de entender para los estudiantes de
educación básica.

Ejecución del plan

Como MCM (3 , 4 y 5 ) = 60

Recordar que se supone un número que tenga
tercera, cuarta y quinta parte exacta para que las operaciones
produzcan resultados enteros.

Supongamos que el dinero que tenía Ernesto
era: D = 60 soles.

1°) Ernesto gasta: El resto sería: 60 – 20 = S/.
40

2°) Luego gasta: ( El nuevo resto sería: 40 – 10 =
S/. 30

3°) Por último gasta: ( Le quedaría al
final: 30 – 6 = S/. 24

Por proporcionalidad:

De donde por regla de tres simple directa:

Luego: Ernesto tenía D = S/. 900 y

Como le quedó al final: S/. 360

Entonces Ernesto gastó: 900 – 360 = S/.
540

Respuesta: Ernesto gastó:
S/. 540.

• 8. Familiarización y
  comprensión:

Cada letra "esconde" o representa a un dígito de
1 a 9 (o sea ninguna letra representa al cero).

Letras diferentes representan cifras diferentes y letras
iguales representan cifras iguales.

Como nos piden el valor máximo que puede
tomar se intuye
que hay varias respuestas posibles, y debemos hallar aquella que
produzca el mayor valor posible.

Además ya nos dan el valor de la letra D =
2

Y también nos indican que C y N son ambos
impares.

Búsqueda de estrategias:

Para estos problemas debemos analizar el posible
resultado que se obtiene al sumar los dígitos de una misma
columna, teniendo en cuenta que en nuestro sistema de
numeración decimal (base diez) cada vez que en una columna
la suma de los dígitos es una cantidad mayor que diez se
debe formar grupos de diez para llevarlos al orden inmediato
superior o (sea a la columna de la izquierda) y lo que sobra
después de formar estos grupo de diez, quedará en
la misma columna como resultado. Ejemplo:

También debemos observar que al sumar dos
sumandos en cualquier columna, la suma máxima que se puede
obtener es: (9 + 9) = 18 ó 19 (en el caso de que de la
columna anterior se haya llevado 1). De esta observación
se concluye que: al sumar dos sumandos, nunca en una
columna puede haber una suma total que llegue a 20, por lo tanto
en una suma de dos sumandos se puede llevar 1 como
máximo al siguiente orden (o sea a la columna de la
izquierda).

Análogamente, se deduce que al sumar 3
sumandos (como es en nuestro problema) la cantidad
máxima que se puede llevar al siguiente orden es 2.
Porque como máximo la suma sería: (9 + 9 + 9 =
27).

Como: E (que esta como sumando) también debe
quedar en el resultado, se deduce que:

U + M + (lo que posiblemente se llevo de
decenas) debe ser igual a diez.

Para que se forme un grupo exacto (un millar) que se
lleve al orden de millares y que de cómo resultado "E" en
dicha columna.

Luego, como P es igual a lo que se llevó de
centenas, entonces:

P = 1

De la columna de UNIDADES: Como la cifra representada
por U (que está como sumando) también debe quedar
en el resultado (en las cifra de las unidades), se deduce que las
otras cifras de esta columna (C y N) deben sumar 10. Para que
formen una decena exacta que se lleve al otro orden.

Luego: C + N = 10

Y como por dato: C y N son ambos impares, estas letras
podrían ser las parejas

(1 y 9) ; (3 y 7) ó (5 y 5), pero como el valor
de P es 1.

Entonces la pareja (1 ; 9) queda descartada; y como C y
N son letras diferentes, entonces la pareja (5 ; 5)
también queda descartada.

Luego: C y N son 3 y 5 (ó 5 y 3).

En la columna de DECENAS: Como de unidades se llevaba 1
(porque se había formado 1 grupo de diez), como D = 2, y
como M e I pueden tomar valores a partir de 4,

Entonces:

1 + M + I + 2 = 10 + R

ó M + I = 7 + R

En la columna de las centenas: 1+U+M=10 de donde:
U+M=9

Como queremos que sea máximo y además sabemos que P
= 1, daremos a E el valor máximo posible (E = 9) y luego
comprobaremos si esto es compatible o no.

Si E = 9, quedarían por usar los dígitos:
4 ; 5 ; 6 y 8.

Respuesta: El valor máximo
de es
1964.

• 9. Viendo el recibo:

Podemos hallar el consumo de Julio del 2006 en Kwh,
restando:

(lectura actual) – (lectura
anterior)

134096-

132578

(a) Consumo: 1518 kWh (kilowats –
hora)

Y multiplicando este consumo por el precio en soles de
un kW – hora que es 0,3203, nos tendría que dar (como
comprobación) el cargo por energía.

Veamos: 1518 × 0,3203 = 486,2154 y
redondeando

Cargo por energía = S/. 486,22 (que es
precisamente lo que figura en el recibo).

(b) La tasa actual del I.G.V. (Impuesto general a
las ventas) es: 19% del valor de venta

o sea:
y

Redondeando el I.G.V. al céntimo sería:
S/. 92,38

Ahora como comprobación, la suma del cargo por
energía más el I.G.V. nos tiene que dar el total
por pagar.

(S/. 486,22) +

I.G.V. (S/. 92,38)

578,60 (lo que es correcto)

Luego el recibo completo del mes de Julio
quedaría así:

Respuesta:

a) El consumo, en kWh, en Julio 2006 fue:
1518

b) El I.G.V., en soles, que pagó en Julio 2006
fue: 92,38

• 10. 

Ahora haremos lo mismos cálculos
para el mes de Agosto de 2006

Lo primero que debemos darnos cuenta es que el valor de
la lecturas:

Lectura anterior (08/07/2006) será el valor de la
lectura actual del mes pasado (08/07/2006) o sea 134096
Kw-h.

Luego:

Lectura actual (08/08/2006): 135 044 kWh

Lectura anterior (08/07/2006): 134 096 kWh

(a) La diferencia entre estas cantidades nos
dará el consumo

135044 – 134096 = 948 kWh

Consumo: 948 kWh

(b) El cargo por energía será igual
al consumo multiplicado por 0,3203:

Y redondeando al céntimo:

Cargo por energía: S/.
303,64

(c) El I.G.V. ahora será el 19% del cargo
por energía:

Y redondeando al céntimo:

I.G.V. = S/. 57,69

(d) El pago total en Agosto sería la suma
del cargo por energía más el I.G.V.

Cargo por energía + I.G.V. = 303,64 + 57,69 =
361,33

Total agosto 2006 = S/.
361,33

El recibo de agosto quedaría
así:

Respuesta:

a) Consumo: 948 kWh

b) Cargo por energía: 303,64 soles

c) I.G.V: 57,69 soles

d) Total recibo: 361,33 soles

II. RAZONAMIENTO
LÓGICO:

• 11. El error que cometió cada uno es la
  diferencia entre lo que dijo y el valor real del
  número de bolitas..

Las cantidades erradas que dijeron, ordenándolas
son:

42 , 49 , 52 , 59 , 62 y 65

Y los errores cometidos (ordenándolos)
son:

1 , 4 , 6 , 9 , 11 y 12

Sea x el valor verdadero, entonces debe existir alguna
persona que dijo un número "a" alejado de x en 12 unidades
y otra persona que dijo un número "b" alejado de x en 11
unidades; pero estos 2 valores a y b no pueden estar hacia un
mismo lado de x porque la diferencia entre estos dos valores
sería 1, y no existe ninguna pareja de números,
entre las cantidades erradas (que se han dado como dato) que se
diferencian en 1.

Luego los valores a y b están en lados diferentes
del valor verdadero x.

ó

De aquí se deduce que a y b se diferencian en 12
+ 11 = 23 unidades, y en la lista de las cantidades erradas que
dijeron las personas, los únicos valores que se
diferencian en 23 son 42 y 65. Luego la posición
es:

Y el valor verdadero "x" podría ser: 42 + 11 = 53
ó 42 + 12 = 54

Pero 54 no puede ser porque, si x = 54 no habría
ninguna cantidad en la lista, que hubiera producido el error de 1
ya que en la lista de cantidades erradas no aparece el 53 ni el
55.

Luego: El valor verdadero "x" es 53.

Comprobación: Los valores que dijeron: 42
; 49 ; 52 ; 59 ; 62 y 65.

El valor verdadero es: 53

Los errores son: 11 ; 4 ; 1 ; 6 ; 9 y 12
respectivamente.

Respuesta: En la caja hay
53 bolitas.

Haciendo un diagrama, partiendo de los datos que dicen
que:

"la niña a la derecha de Anita tiene vestido
fucsia" y

"la niña de vestido morado está al frente
de la niña de vestido fucsia", tendremos:

Ahora, como dicen que: "Bety está al frente de la
niña vestida de rojo" y "como Bety solo puede estar al
frente de Anita (observar el diagrama), se deduce que Anita
está vestida de rojo, y Bety estará vestida del
único color que queda (verde).

Ahora, "como la niña de vestido verde (Bety),
está a la izquierda de Carmen" se deduce que Carmen
está vestida de morado y por descarte Diana es la que
está vestida de fucsia.

Respuesta:

Anita está vestida de rojo.

Bety está vestida de verde.

Carmen está vestida de morado.

Diana está vestida de fucsia.

Como en el problema: la persona que habla (y se
identifica como "yo") es uno de los hijos y de los datos esta
persona es mayor que Mónica (Dato ii) y también es
mayor que Jaime (Dato iii) se deduce que Mónica y Jaime
también son hijos de familia y hermanos del que
habla.

Los nombres que faltan ubicar son: Juanita; David y
María, y como David es el único Varón,
éste será el nombre del Padre, y como por dato (i):
"Juanita es menor que María", la madre debe ser la mayor,
o sea María, quedando que la persona que se identificaba
como "yo" era: Juanita.

Luego, los nombres de los padres son: David y
María.

Respuesta: Los nombres de los
padres son: David y María.

• 14. Consideraremos la siguiente "tabla de
  decisiones" para visualizar las relaciones:

Como ya hemos explicado en los módulos
anteriores, colocaremos SI en la casilla que muestra la
relación correcta entre el nombre de la fila y la
profesión de la columna correspondiente; y colocaremos
NO cuando la relación no sea correcta.

• Del primer dato se deduce que Félix es casado
  y que no es el médico.

• Del segundo dato se deduce que Aurelio no es el
  matemático.

• Del cuarto dato, el abogado y el matemático
  son solteros y el ingeniero y el médico son
  casados.

• Del quinto dato David es soltero y no es
  abogado.

De la tabla se observa ahora que el Médico
podría ser David o Aurelio, pero como el médico es
casado y David es soltero, entonces el médico no puede ser
David y tendrá que ser Aurelio. Luego, como Aurelio es el
médico, Aurelio es casado y ya no puede ser abogado ni
ingeniero.

Ahora, David no puede ser ingeniero, porque David es
soltero y porque el ingeniero es casado; luego David sería
matemático, quedando la tabla así después de
completar.

Respuesta:

Félix es Ingeniero.

David es Matemático.

Gustavo es Abogado.

Aurelio es Médico.

• 15. Ordenaremos los datos en el siguiente
  cuadro:

De acuerdo a los datos, Gustavo llegó primero; el
que llegó último vistió de azul y el que
llegó en segundo lugar tenía el número
3.

Ahora como "David venció a Félix",
significa que David no fue el último, o sea David
llegó 2° ó 3°, y Félix llegó
después (identificado con el número 1).

Habrían entonces (3) casos posibles con respecto
a la posición entre David y Félix:

Ahora, como por dato:

"solo uno de los participantes llegó en una
posición igual al número que lo
identificaba".

Se observa que los casos (2) y (3) no pueden ser
posibles, porque no hay posibilidad de que haya algún
participante, que su puesto coincida con su número de
identificación (puede verificarlo en los
cuadros).

Luego, se deduce que el único posible es el caso
(1) y el participante que llegó en una posición
igual al número que lo identificaba "solo pudo ser: el
4°".

Completando la 1ª columna con el nombre que falta
(Aurelio) y la 2ª columna con el N° 2 (de Gustavo) y
como por dato el que llevaba el número 2 vistió de
rojo, entonces Gustavo fue el que vistió de
rojo:

Como por dato "el participante de amarillo venció
al participante vestido de verde" sólo sería
posible que David fuera el de amarillo y Félix el de
verde, quedando finalmente el cuadro así:

Respuesta:

• 16.  Para determinar la posición
  de la flota usaremos las reglas y condiciones dadas en el
  enunciado del problema.

• Si a una fila o columna le corresponde un
  número 0, significa que en dicha fila o columna no hay
  ninguna parte de un barco y por lo tanto podemos llenar todas
  las casillas de esas filas o columnas con agua (ver filas D;
  E; G y la columna Q).

• Si una fila o columna ya tiene ocupados por partes
  de barcos una cantidad de casillas igual al número
  total posible de esa fila o columna (dados por los
  números de la derecha o de abajo), las demás
  casillas deben ser llenadas con agua (ver la fila B y la
  columna U).

• También debemos observar las partes de los
  barcos dadas como pistas. Nos daremos cuanta si son extremos
  de barcos; o cuerpo de un barco, etc.

En nuestro ejemplo (B-V) es el extremo superior de un
barco de 2 ó más casillas, pero como solo hay un
espacio para 2 casillas, se deduce que corresponde a un
destructor (que ocupa 2 casillas).

Las casillas vecinas rellenan con agua.

Asimismo (F-U) es el extremo izquierdo de un barco de 2
ó más casillas por lo tanto la casilla (F-V) debe
estar llena con parte de un barco.

Con esto, la columna V tendría 3 casillas
ocupadas y como ese número es el máximo de esa
columna, las demás casillas deben estar llenas de
agua.

• Ahora tendremos de ubicar la posición de los
  barcos más grandes.

Comenzaremos con tratar de ubicar el acorazado (que
ocupa 4 casillas).

Notaremos que, aunque la fila A debe tener 4 casillas
ocupadas, no hay 4 casillas libres seguidas, igualmente en la
fila I y también en la columna P. en conclusión,
solo puede estar en la fila F y a la derecha.

Ahora si es fácil darse cuenta de la
ubicación de los dos cruceros (de 3 casillas cada uno) y
continuar descubriendo los barcos que faltan.

La solución será como se indica en la
figura de la derecha.

• 17.  Familiarización y
  comprensión

Debemos hacer corresponder 4 nombres: Juana, Lucia,
Luisa y Ana con los 4 apellidos; Bravo, Díaz, Gómez
y Soto.

Aunque ya nos dan como dato que el apellido de Juana que
es Bravo.

Búsqueda de estrategias

Como también nos dan los puestos que obtuvieron
en la carrera podemos hacer el siguiente cuadro para llenarlo con
los datos.

Ejecución

Como "Juana Bravo venció a Lucía",
entonces la Srta. Bravo no fue última;

como "La Srta. Díaz venció a Luisa"
entonces la Srta. Díaz no fue última

y como "La Srta. Gómez no fue la última",
se deduce entonces

que la última tuvo que ser la Srta. Soto y como
esta llegó exactamente después de Juana,
entonces Juana llegó penúltima, quedando el cuadro
así:

Ahora como "La Srta. Díaz venció a Luisa",
la única preposición posición
sería:

Y completando con el nombre y el apellido que quedan que
son Ana y Gómez respectivamente, el cuadro final
quedaría así:

Respuesta:

• 18. Familiarización y
  comprensión

Los nombres de los tres compañeros son Luis,
Pedro y Silvia.

Los apellidos son: Fernández, Morales y
González, y

las profesiones son: químico, profesor y
médico.

Búsqueda de estrategias

Como hay mayor cantidad de datos que relacionan los
apellidos con las profesiones conviene emplear la siguiente tabla
de decisiones:

(Silvia)

Ejecución del plan

Como Morales trabaja como químico, colocamos un
SI en la casilla que está en la intersección
de Morales con químico. Ahora a las demás casillas
de la columna y de la fila donde está el SI deben
colocársele un NO.

(Silvia)

Ahora, "como el médico no se apellida
González", el médico sólo podría ser
Fernández, quedando el cuadro así:

(Silvia)

Y por último como Luis no se apellidaba
Fernández (que es médico) entonces Luis no es
médico y será químico y el médico
será Pedro.

Respuesta:

La "aparente" contradicción se produce por el
errado razonamiento del mozo, ya que el dice:

"Como cada uno de los tres, pagó en verdad 9
soles, esto hace un total de 3 × 9 = 27 soles"…
Hasta aquí las cuentas van bien.

[Y estos 27 soles se distribuyeron
así:

25 soles para pagar la cuenta y 2 soles que se
guardó el mozo]

Lo que está mal es lo que sigue:
"sumándole los dos soles con los que yo me he quedado hace
un total de veintinueve soles…"

Estos 2 soles no deberían haberse sumado a los 27
soles porque ya estaban incluidos en los 27 soles. Y por eso no
hubo un balance correcto en las cuentas.

Las cuentas claras deberían ser
así:

Si el cliente tiene 100 dólares en su cuenta, al
retirar todo su dinero en partes, la suma de los retiros hechos
siempre es igual a 100 dólares, pero no es correcto pensar
que la suma de los saldos que quedaban en su balance
después de hacer los retiros también tenga que ser
100 soles.

Esta última suma es completamente variable como
podemos observar comparando el cuadro dado en el problema con
otra solución que se podrá haber
presentado.

Ahora si los 6 retiros hubieran sido de 20; 20; 20; 20;
10 y 10 el cuadro sería el siguiente:

80 + 60 + 40 + 20 + 10 + 10 =
220

Luego: como podemos
observar,

La suma de los retiros no tiene porque ser
igual a la suma de los saldos que quedaban en su
balance.

Por lo tanto:

Fue una coincidencia que la suma de los
saldos del balance haya sido S/. 1 menos que la suma de los
retiros y esto haya motivado la aparente
contradicción.

Respuesta: La suma de los retiros
no tiene porque ser iguales.

MODELACIÓN
ALGEBRAICA:

• 21.  Familiarización y
  comprensión:

Según los datos:

Para cada grupo de 2 empleados, es una pizza.

Para cada grupo de 3 empleados, es una ración de
papas.

Para cada grupo de 4 empleados es una botella de
gaseosa.

Y en total, el supervisor compró 39
artículos exactos entre pizzas, raciones de papa y
botellas de gaseosas.

Búsqueda de estrategias:

En este caso podemos analizar la situación,
escogiendo primero un grupo formado por un número de
empleados con el cual se pueda formar, a la vez, un número
exacto de grupos de 2, ó de 3 ó de 4 personas, para
que el número de artículos necesarios de cada clase
sea entero y exacto. Y luego comparan el resultado con el
número que en verdad debe ser para proyectar el valor
verdadero.

El número escogido de personas para empezar el
análisis sería entonces el MCM de 2, 3 y 4 que es
12.

Luego de comprar el resultado obtenido con este
número escogido, con el verdadero resultado, por
proporcionalidad se deduciría el número verdadero
de personas que debe tener dicho grupo.

Ejecución:

Supongamos que el número de empleados es
12.

Como 12 contiene grupos de 2 empleados, se necesitarán 6
pizzas.

Como 12 contiene grupos de 3 empleados, se necesitarán 4
raciones de papas.

Como 12 contiene grupos de 4 empleados, se necesitarán: 3
gaseosas.

Luego, sumando:

Para cada grupo de 12 empleados el número de
artículos necesarios que se tendría que pedir
es:

6 + 4 + 3 = 13
artículos

Pero como el número de artículos podidos,
fue realmente 39 (y 39 es el triple de 13) se deduce que el
número real de empleados, debe ser el triple de 12, o sea
36.

Respuesta: Estaban reunidos
36 empleados.

• 22. 

Este es un problema típico donde se pueden
establecer relaciones con una misma variable y luego establecer
una ecuación.

Conviene escoger como variable, la cantidad más
pequeña en base a la cual se puedan representar las
demás.

Sea "x" la edad de mi hija en años.

Mi hijo tiene 5 veces la edad de mi hija, o sea 5x
años.

Mi esposa tiene 5 veces la edad de mi hijo, o sea: 5
(5x) = 25x años.

Yo tengo el doble de la edad de mi esposa, o sea: 2
(25x) = 50 x años.

Como la abuela tiene 81 años y su edad es la suma
de las edades de todos nosotros, se formaría la siguiente
ecuación:

x + 5x + 25x + 50x = 81

Sumando:

81x = 81

De donde: x = 1

Luego mi hijo tiene: 5x ó sea 5 × 1 = 5
años

Respuesta: Mi hijo tiene 5
años.

• 23. 

Sea T el número total de bolitas que inicialmente
tenía David.

Según dato, si David agregará 6 bolitas
azules, la mitad del total serían azules.

Analizando esta última situación, nos
damos cuenta que el nuevo total de bolitas sería (T + 6),
y que el número de bolitas rojas y verdes (que no han
variado) serían la otra mitad de este total.

Luego, conviene formar la ecuación, no con las
bolitas azules, sino con las bolitas rojas y verdes,
así:

Multiplicando cada término por 6 (que es el MCM
de 3 y 2), para que al simplificar los resultados sean enteros y
exactos:

De donde, despejando: T = 90 bolitas

El número de bolitas rojas es entonces: o sea:

Respuesta: David tiene 30
bolitas rojas.

• 24. Sea "m" soles el precio de cada manzana, y
  "n" soles el precio de cada naranja.

Entonces:

Como Martín compró 2 manzanas más 4
naranjas,

Martín pagó: (2m + 4n) soles

Como Miguel compró 8 manzanas más 2
naranjas, Miguel pagó (8m + 2n) soles.

Pero, por dato, la cantidad que pagó Miguel es el
doble de la cantidad que pagó Martín.

Luego:

(8m + 2n) = 2(2m + 4n)

Efectuando, la multiplicación aplicando la
propiedad distributiva de la multiplicación:

8m + 2n = 4m + 8n

De donde: 4m = 6n

Dividiendo entre 2 ambos miembros de la
ecuación:

2m = 3n

Esta última relación dice que el precio de
2 manzanas equivale al precio de 3 naranjas.

Ahora, como en la pregunta del problema nos piden:
¿Cuántas manzanas se podrían comprar con la
cantidad necesaria para comprar 9 naranjas? se tiene:

El precio de 3 naranjas equivale al de 2
manzanas.

Luego:

El precio de 9 naranjas equivale el precio de 6
naranjas.

Respuesta: Se podrían
comprar 6 manzanas.

• 25. Familiarización y
  comprensión:

Se llaman "números enteros consecutivos" a los
números que aparecen seguidos en la recta numérica
de los enteros.

Por ejemplo:

Son consecutivos: 8 ; 9 y 10.

También son consecutivos: 305 ; 306
; 307 ; 308

Para formar una sucesión de números
enteros consecutivos a partir de un número dado,
bastará sumar 1 unidad a dicho número para obtener
el segundo número y luego, al segundo número se le
sumará 1 unidad para obtener el tercer número, y
así sucesivamente.

Búsqueda de estrategias

Para resolver problemas donde intervienen números
consecutivos, lo más importante, es la
representación de estos números, y luego plantear,
de acuerdo a los datos, una ecuación.

Cuando la cantidad de números consecutivos en un
problema sea PAR, generalmente al primero de los números
se le escoge como incógnita y los demás se
representan sumándole 1 sucesivamente a la
incógnita, así:

En cambio, cuando la cantidad de números
consecutivos en un problema es IMPAR, conviene escoger como
incógnita al número del medio y luego sumar 1 para
obtener la siguiente y restar 1 para obtener el
anterior,….

Por ejemplo, si son 5 números consecutivos,
llamaremos x al del centro o sea al 3°. Luego, el 4° y el
5° serán (x+1) y (x+2); y el 2° y el 1°
serán (x-1) y (x-2) como se muestra en la siguiente
tabla:

Ejecución del Plan:

Primera forma:

Como por dato son tres números enteros
consecutivos representaremos con x al número del medio (o
sea al 2°); el 1° será (x – 1) y el 3°
será (x + 1), como se muestra en la tabla:

Por dato, la suma de estos tres números es
2007.

(x – 1) + x + (x+1) = 2
007

Y efectuando las operaciones obtenemos (nótese
que 1 y -1 se cancelan):

3x = 2007

Y dividiendo entre 3:

Luego: Los números son:

Segunda forma:

Como podemos notar, cuando la cantidad de números
consecutivos es IMPAR, la suma de todos es un múltiplo
exacto del término del centro.

Por ejemplo, si son 5 números consecutivos, la
suma de todos será 5 veces el término del
medio.

Si son 7 números consecutivos, la suma de todos
será 7 veces el término del medio.

Y cuando son tres números consecutivos, la suma
de todos será 3 veces el término del
medio.

Luego, como por dato: la suma de los tres números
enteros consecutivos es 2007

Se deduce que esta suma será 3 veces al
término del medio.

Ó 3 (medio) = 2007.

De donde el término medio es:

Y los números serán: 668; 669;
670.

Respuesta:

Los números enteros consecutivos
que suman 2007 es: 668; 669; 670

• 26.  Sea x el número de
  palomas.

Ahora trasladamos el enunciado a lenguaje
simbólico:

Si sumamos las que somos: x

Más tantas como las que somos: x + x

Más la mitad de las que somos:

Más la mitad de la mitad de los que somos:

En este caso, contigo gavilán, seríamos
100:

Como la
ecuación formada sería:

Y multiplicando cada término por 4 (para eliminar
los denominadores)

4x + 4x + 2x + x + 4 = 400

Y efectuando: 11x + 4 = 400

11x = 400 – 4 = 396

De donde:

Respuesta: Habían 36
palomas en la bandada.

• 27. Familiarización y
  comprensión:

Para una persona que compra algo, lo que paga al
comprarlo, se llama "precio de compra" o precio de costo" del
artículo.

Y si luego esta persona lo vende, lo que recibe al
venderlo se llama "precio de venta" o ingreso de la
venta"

Ahora si el precio de venta es mayor que el precio de
costo, ha habido ganancia, y se cumplirá
que:

(Precio de venta) = (Precio de costo)
+ (Ganancia)

Ahora si el precio de venta fuera menos que el precio de
compra, ha habido pérdida en esta venta, y se
cumplirá que

(Precio de venta) = (Precio de costo)
– (Pérdida)

También debemos recordar que calcular el
porcentaje de un número equivale a aplicarle al
número un operador multiplicativo con denominador 100,
así por ejemplo:

20% de N =

35% de X =

Búsqueda de estrategias:

• Como según dato, Gustavo vendió el
  reloj con una ganancia, emplearemos la
  ecuación:

(Precio de venta) = (Precio de costo) +
(Ganancia)

Y luego de reemplazar los datos despejaremos el costo y
luego hallaremos la ganancia.

• Otra forma podría ser empleando "falsa
  suposición" y luego aplicar
  proporcionalidad.

Ejecución del Plan:

Primera forma:

Si Gustavo compró el reloj en "c"
soles

Por dato, su ganancia, al venderlo fue:

Luego, como Gustavo vendió el reloj en S/. 216,
el precio de venta fue S/. 216,

Entonces reemplazando en la fórmula:

(Precio de venta) = (Precio de costo) +
(Ganancia)

Ecuación del plan:

Resolviendo esta ecuación
(multiplicando cada termino por 20)

20C + 7C = 20 × 216

27C = 4320

De donde:

Luego: Gustavo compró el reloj en 160 soles y
como lo vendió a 216 su ganancia fue:

216 – 160 = 56 soles.

Respuesta: La ganancia de Gustavo
fue 56 soles.

Segunda forma: "Por suposición y
proporcionalidad"

Supongamos que Gustavo compró el
reloj en: S/. 100

[se escoge 100 porque es más
fácil calcular algún porcentaje de 100)]

Entonces por dato, su ganancia será:
35% de 100 = S/. 35

Y por fórmula el precio de venta
sería: 100 + 35 = S/. 135.

Luego, por regla de tres
simple:

Si el costo fuera S/. 100, el precio de
venta sería S/. 135

Entonces, el costo será C para que
el precio de venta sea S/. 216.

Y

Y la ganancia será: 216 – 160
= 56 soles.

• 28. Familiarización y
  comprensión:

Tenemos que determinar lo que gastó Juan en los
tres días, y esto equivale al total de sus
ahorros.

Notaremos que Juan, cada día está gastando
una cantidad que tiene la "misma forma" o proceso:

Cada día gasta: (de lo que tiene al
comienzo de ese día) + 8 soles.

Notaremos también que Juan gastó todos sus
ahorros en los 3 días, o sea que después del tercer
día le quedó: "0" soles.

Búsqueda de
estrategias:

En módulos anteriores, ya hemos resuelto
problemas de este tipo empleando ecuaciones para determinar lo
que le quedo al final. Formar la ecuación resulta muy
complicado.

Recordemos, que cuando el mismo proceso se repite en
cada etapa podemos construir una "fórmula de
regresión" (fórmula para regresar del final al
principio), y este es el procedimiento que usaremos
ahora.

Ejecución del plan:

Sea E lo que tiene Juan al empezar un
día

Y F lo que tiene Juan al terminar un
día.

Pero por dato en cada día se gasta, de lo que tiene al empezar
el día y 8 soles más, o sea se gasta: × E + 8

Luego, F sería igual a: E menos o sea:

De donde:

Y si despejamos E obtenemos:

"Fórmula de regresión"

Esta última fórmula sirve para regresar, o
sea si reemplazamos el valor F que tenía Juan al final de
un día obtenemos el valor E, que es el valor con el que
empezó dicho día:

Debe observarse que el valor final de un día es
igual al valor con el que se empieza el día siguiente y
también al final del tercer día no le quedó
nada, o sea: F3 = 0.

Aplicaremos la fórmula de
regresión:

Como F3 = 0 entonces por la fórmula de
regresión:

Luego F2 = 12 y por la fórmula de
regresión

Luego F1 = 3 y por la fórmula de regresión

Juan tenía al empezar el primer día: E1 =
57 soles

Y esta cantidad la gastó en los tres
días.

Respuesta: Juan gastó en
los 3 días 57 soles.

COMBINATORIA,
INCERTIDUMBRE:

• 29. Familiarización y
  comprensión:

La máquina dispensadora contiene 24 bolitas de
goma de mascar, y éstas son:

• 9 bolitas ROJAS

7 bolitas BLANCAS

8 bolitas AZULES

Nos piden determinar el MENOR número posible de
bolitas que debemos comprar, para tener la CERTEZA de que en el
grupo comprado haya 4 bolitas del mismo color. (Cual sea este
color).

Búsqueda de estrategias:

Ya hemos visto, en módulos anteriores que en los
problemas de "CERTEZA" debemos colocarnos en el caso más
crítico (o desfavorable) para el cual, todavía no
se cumple la condición y luego ver qué se debe
hacer para cumplir con la condición deseada.

Ejecución del Plan:

El caso más desfavorable (o crítico) que
se nos puede presentar y para el cual todavía no tenemos 4
bolitas del mismo color, es que saquemos.

3 bolitas rojas + 3 bolitas blancas + 3
bolitas azules = 9 bolitas

Pero si sacamos una bolita más, cualquiera sea su
color (rojo, blanco o azul), completáramos 4 bolitas de un
mismo color.

Luego:

El menor número de bolitas que debemos comprar
para estar seguros de tener 4 del mismo color es 10.

Respuesta: La persona ha de
comprar diez bolitas como mínimo.

• 30. 

Familiarización y
comprensión:

En el arreglo según las condiciones, se puede
leer la palabra PERÚ de varias formas: en línea
recta, o doblando hacia la derecha, izquierda, arriba o
abajo.

¿Cuál es el número total de
formas en que se puede leer la palabra
PERÚ?

Búsqueda de estrategias:

Hay diversos métodos de llegar a la respuesta,
pero en todas, el conteo deber ser SISTEMÁTICO (ordenado)
para no dejar alguna forma sin contar y/o contar doble
alguna.

Un primer método, sería contar primero,
todas las formas en línea recta en que se lee PERÚ
(son 4), luego dividir el arreglo en 4 cuadrantes o partes y
luego contar las formas que resultan en este cuadrante y como hay
simetría el número total se obtiene multiplicando
por 4.

Ejecución del Plan:

Hay 4 formas de leer PERÚ en línea
recta.

Luego tomando un cuadrante contaremos las formas de leer
la palabra PERÚ, sin considerar las formas en línea
recta ya contadas.

Como podemos ver hay 6 formas de leer la palabra
PERÚ, en un cuadrante y como son 4 cuadrantes,
habrán:

6 × 4 = 24 formas de leer "PERU"
haciendo "dobleces" en el camino.

Y sumando las 4 formas de leer PERU en forma recta (que
ya contamos), nos dará un total de:

24 + 4 = 28 formas.

Respuesta: La palabra PERÚ
se puede leer de 28 formas.

• 31. Si identificamos a los tres libros con
  pasta roja como R1, R2 y R3 y a los tres libros con pasta
  azul como: A1, A2 y A3, tenemos que acomodarlos de tal manera
  que los libros vecinos no tengan pasta del mismo
  color.

Un arreglo será: R1, A1, R2, A2, R3,
A3

Otro arreglo sería: R1, A1; R3; A2; R2;
A3,…

Para contar el número total de arreglos aplicamos
los principios de la Combinatoria, en el siguiente esquema del
estante, donde se indican las posiciones a llenar con los
libros.

Si numeramos las posiciones:

Primer caso: Empezamos colocando en la 1ª
posición un libro de pasta roja.

Como hay tres libros de pasta roja, en esta
posición podemos escoger para colocar cualquiera de los
tres.